x^2-2x-15=0 lösen | Microsoft-Matheproblemlöser (2024)

a+b=-2 ab=-15

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}-2x-15 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

1,-15 3,-5

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

1-15=-14 3-5=-2

Die Summe für jedes Paar berechnen.

a=-5 b=3

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

\left(x-5\right)\left(x+3\right)

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

x=5 x=-3

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+3=0.

a+b=-2 ab=1\left(-15\right)=-15

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

1,-15 3,-5

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

1-15=-14 3-5=-2

Die Summe für jedes Paar berechnen.

a=-5 b=3

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

\left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right)

x^{2}-2x-15 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right) umschreiben.

x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

\left(x-5\right)\left(x+3\right)

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

x=5 x=-3

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+3=0.

x^{2}-2x-15=0

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-15\right)}}{2}

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -2 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}

-2 zum Quadrat.

x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2}

Multiplizieren Sie -4 mit -15.

x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2}

Addieren Sie 4 zu 60.

x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2}

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

x=\frac{2±8}{2}

Das Gegenteil von -2 ist 2.

x=\frac{10}{2}

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±8}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 8.

x=5

Dividieren Sie 10 durch 2.

x=-\frac{6}{2}

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±8}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von 2.

x=-3

Dividieren Sie -6 durch 2.

x=5 x=-3

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

x^{2}-2x-15=0

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

x^{2}-2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

x^{2}-2x=-\left(-15\right)

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

x^{2}-2x=15

Subtrahieren Sie -15 von 0.

x^{2}-2x+1=15+1

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

x^{2}-2x+1=16

Addieren Sie 15 zu 1.

\left(x-1\right)^{2}=16

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

x-1=4 x-1=-4

Vereinfachen.

x=5 x=-3

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.